Gauss метод: примери за решения и специални случаи

Гаусовият метод, наречен също стъпка по стъпкаизключването на неизвестни променливи, е кръстен на известния немски учен K.F. Гаус, който по време на своя живот получава неофициалната титла "Кралят на математиката". Този метод обаче бил известен още преди раждането на европейската цивилизация още от първия век. Преди новата ера. д. древни китайски учени го използват в своите писания.

Гаусовият метод е класически метод за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE). Той е идеален за бързо решаване на ограничени матрици.

Самият метод се състои от две ходове: директно и обратно. Правният ход е последователното прехвърляне на SLAU на триъгълна форма, т.е. нулирането на стойностите, разположени под основния диагонал. Обратният ход предполага последователното откриване на стойностите на променливите, изразяващи всяка променлива през предишната.

За да се научим как да приложим Gauss методът на практика е просто, достатъчно е да се знаят елементарните правила за умножение, добавяне и изваждане на числа.

За да покажем алгоритъма за решаване на линейни системи по този метод, нека разгледаме един пример.

Така че, решете с помощта на Gaussian метод:

x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4х-2y-2z = -6

Трябва да се отървем от променливата х във втория и третия ред. За целта добавяме първото, умножено съответно с -2 и -4. Получаваме:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-10y-18z = -18

Сега умножете втория ред с 5 и го добавете към третия:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-3z = -18

Доведохме системата си на триъгълна гледка. Сега обръщаме. Започваме с последния ред:
-3z = -18,
z = 6.

Втори ред:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

Първа линия:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
х = 18-24 + 3
х = -3

Замяната на получените стойности на променливите в първоначалните данни, ние сме убедени в правилността на решението.

Този пример може да бъде решен с много други замествания, но отговорът трябва да е еднакъв.

Това се случва на водещата първа линияима елементи с твърде малки стойности. Това не е страшно, но е доста сложно. Решаването на този проблем е Gauss методът с избора на основния елемент от колоната. Нейната същност се състои в следното: на първия ред е намерен максималният елемент, колоната, в която се намира, се заменя с първата колона, т.е. нашият максимален елемент става първият елемент на основния диагонал. Следва стандартен процес на изчисление. Ако е необходимо, процедурата за смяна на колоните може да се повтори.

Друг модифициран метод на Gauss е методът Йордан-Гаус.

Използва се при решаване на квадратен SLAU, когато се намери обратната матрица и рангът на матрицата (броя на ненулевите редове).

Същността на този метод е, че оригиналната система се трансформира чрез промени в единичната матрица, с още намиране променливи.

Неговият алгоритъм е както следва:

1. Системата от уравнения се намалява, както при Gauss метод, до триъгълна форма.

2. Всеки ред е разделен на определен брой, така че да се получи единицата на основния диагонал.

3. Последният ред се умножава по определен брой и се изважда от предпоследния с такова изчисление, така че получаваме 0 на основния диагонал.

4. Операцията 3 се повтаря последователно за всички редове, докато евентуално се образува единична матрица.

</ p>